Математика для оптимальной послепечати

Для начала сюжет из практики. Нам нужно произвести 60 000 изделий — ценников. Заказчик показывает симпатичный овальный образец. Объясняем: такая форма потребует дополнительной обработки — высечки. «А что это такое?» — интересуется заказчик. Отвечаем: «Картон с отпечатанными ценниками помещается в специальную машину, она прижимает к картонке штамп, изделие вырезается из листа». Показываем штамп. Его изготовление займёт два дня, сама высечка — ещё два-три. Изделие станет дороже. У заказчика естественный вопрос: «Насколько дороже?»

Считаем сначала стоимость штампа, умножая длину полотна на цену одного погонного сантиметра. Смотрим: 42 см на 0,18 долл. — выходит 7,56 долл. Если штамп одноместный, понадобится 60 000 ударов. Один удар в таком тираже и на такой машине обойдётся примерно в 0,007 долл. Итого — 420 долл. Складываем стоимости штампа и ударов, уже 427,56 долл. С одного взгляда ясно, что высекать такой тираж одноместным штампом неразумно. А двухместным? Повторяя расчёт для двух мест, получаем:

7,56×2 + 0,007×30 000 = 225,12 долл.

А если 4-местным? Считаем опять:

7,56×4 + 0,007×15 000 = 135,24 долл.

Заказчик задумчиво ходит по офису, разглядывая образцы и время от времени выразительно вынимая из кармана мобильник. Так, а если 8-местным?

7,56×8 + 0,007×7500 = 112,98 долл. Стоп! Длина полотна 42×8 = 336 см. Это больше 3 м — у машины не хватит давления. Считаем для 6-местного штампа: 7,56×6 + 0,007×10 000= 115,36 долл.

Делим полученную сумму на тираж и получаем 0,002 долл. в пересчёте на единицу готовой продукции. Заказчик согласен…

Понятно, что не все считают на калькуляторе. Менеджер, владеющий электронной таблицей, вобьёт параметры в формулу — это дело нескольких минут. Заполнив таб-лицу для значений от 2-х до 16-ти, он увидит, что минимум стоимости 112,98 долл. приходится как раз на значение 8.

Такие ситуации повторялись и навели автора на естественную мысль: должен быть разумный алгоритм поиска оптимального параметра, основанный на методах решения экстремальных задач.

Формализуем задачу

Необходимо выполнить высечку изделий тиражом k. Если стоимость одного удара составляет m, а стоимость штампа n, то общая стоимость работ по высечке составит:

S = km + n (1)

Если тираж большой, а n существенно меньше km, имеет смысл применить многоместный штамп. Введём обозначение x для числа мест штампа. Тогда выражение (1) принимает вид:

S = km/x + nx (2)

Задача — найти оптимальное значение х, при котором значение S будет минимальным.

Возьмём первую производную выражения (2) по х:

dS/dx = n — km/x² (3)

Функция (2) будет иметь минимум при

n — km/x² = 0 (4)

Решая (4) относительно x, получаем:

x = sqrt (km/n) (5)

т. е. оптимальное число мест штампа равно квадратному корню из отношения суммарной стоимости высечки одноместным штампом к стоимости одного места штампа. Понятно, что поскольку х должно быть целым числом, необходимо округлить его до ближайшего целого. Проверим правильность формулы (5) в случае, описанном в начале статьи:

x = sqrt (420/7,56) = 7,45

Если быть совсем точным, то оптимальным будет значение 7, но на практике штамп — фрагмент спуска, поэтому число мест, скорее всего, четное.

Полагаю, формула (2) при более глубоком рассмотрении может оказаться представителем некоего класса функций, описывающих соответствующий им класс процессов. Вполне возможно, не только полиграфических. Соображения, из которых была получена формула (2), относятся скорее к категории экономических.

Резюмируя сказанное, сделаем два вывода: формула (5) — инструмент, вполне пригодный для практического применения; формула (2) и соображения, по которым она выведена, возможно, подтолкнут читателей к полезным обобщениям и помогут применить методы оптимизации в задачах, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной работе.

Об авторе: Саид Азизов (said_ss@mail.ru), директор ООО «URSA», Ташкент.